Дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей. Дискретные случайные величины
Определение 1
Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.
Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.
Описать случайную величину можно с используя закона распределения.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:
Рисунок 1.
где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.
Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины .
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения .
Рисунок 2.
Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):
$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.
Действия над дискретными вероятностями
При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу , сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:
Определение 3
Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$
Определение 4
Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.
Определение 5
Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.
Определение 6
Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.
Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.
Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$
Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$
Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:
Рисунок 3.
Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид
Рисунок 4.
А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид
Рисунок 5.
Фунция распределения
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.
Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти недостающую вероятность и построить график функции распределения. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой величины.
Случайная величина Х принимает только четыре значения: -4, -3, 1 и 2. Каждое из этих значений она принимает с определенной вероятностью. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, то недостающая вероятность равна:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
Составим функцию распределения случайной величины Х. Известно, что функция распределения , тогда:
Следовательно,
Построим график функции F (x ) .
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений значения случайной величины на соответствующую вероятность, т.е.
Дисперсию дискретной случайной величины найдем по формуле:
ПРИЛОЖЕНИЕ
Элементы комбинаторики Здесь: - факториал числа |
||||||||||
Действия над событиямиСобытие – это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Объединение событий А и В – это событие С , которое состоит в появлении или события А , или события В , или обоих событий одновременно. Обозначение:
Пересечение событий А и В – это событие С , которое состоит в одновременном появлении обоих событий. Обозначение:
 |
||||||||||
Классическое определение вероятностиВероятность события А
– это
отношение числа опытов
|
||||||||||
Формула умножения вероятностейВероятность события
Если события А и В – независимы (появление одного не влияет на появление другого), то вероятность события равна: |
||||||||||
Формула сложения вероятностейВероятность события
Вероятность события А, Вероятность события В,
Если события А и В – несовместны (не могут появиться одновременно), то вероятность события равна: |
||||||||||
Формула полной вероятностиПусть
событие А
может произойти
одновременно с одним из событий
|
||||||||||
Схема БернуллиПусть проводится n независимых испытаний. Вероятность появления (успеха) события А в каждом из них постоянна и равна p , вероятность неудачи (т.е. не появления события А ) q = 1 - p . Тогда вероятность появления k успехов в n испытаниях можно найти по формуле Бернулли:
Наивероятнейшее
число успехов
|
||||||||||
Случайные величиныдискретные непрерывные (н-р, число девочек в семье с 5 детьми) (н-р, время исправной работы чайника) Числовые характеристики дискретных случайных величинПусть дискретная величина задана рядом распределения:
, , …, - значения случайной величины Х ; , , …, - соответствующие им значения вероятностей. Функция распределенияФункцией распределения случайной величины Х называется функция , заданная на всей числовой прямой и равная вероятности того, что Х будет меньше х : |
;
;
, благоприятствующих появлению события
А
, к общему числу опытов
:
можно найти по формуле:
-
вероятность события А,
-
вероятность события В,
- вероятность события В
при условии,
что событие А
уже произошло.
можно найти по формуле:
- вероятность совместного появления
событий А
и В
.
,
,
…,
- назовем их гипотезами. Также известны
- вероятность выполнения i
-ой
гипотезы и
- вероятность появления события А при
выполнении i
-ой
гипотезы. Тогда вероятность события
А
может быть найдена по формуле:
в схеме Бернулли – это число появлений
некоторого события, которому
соответствует наибольшая вероятность.
Можно найти по формуле:
Вопросы к экзамену
Событие. Операции над случайными событиями.
Понятие вероятности события.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли.
Случайная величина, ее функция распределения и ряд распределения.
Основные свойства функции распределения.
Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.
Дисперсия. Свойства дисперсии.
Плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины.
Виды распределений: равномерное, экспоненциальное, нормальное, биномиальное и распределение Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Муавра-Лапласа.
Закон и функция распределения системы двух случайных величин.
Плотность распределения системы двух случайных величин.
Условные законы распределения, условное математическое ожидание.
Зависимые и независимые случайные величины. Коэффициент корреляции.
Выборка. Обработка выборки. Полигон и гистограмма частот. Эмпирическая функция распределения.
Понятие оценки параметров распределения. Требования к оценке. Доверительный интервал. Построение интервалов для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Статистические гипотезы. Критерии согласия.
Примеры решения задач на тему «Случайные величины».
Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.
Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Легко проконтролировать: .
Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.
Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:
|
p i |
0,24 |
Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.
Решение. Рассмотрим распределение Бернулли
(или биномиальное): вероятность того, что в
n
испытаниях событие А
появится ровно
k
раз: 
, или:
|
qn |
pn |
В ернёмся к задаче.
Возможные значения величины X (число отказов):
x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;
x 1 =1 – отказ одного элемента;
x 2 =2 – отказ двух элементов;
x 3 =3 – отказ всех элементов.
Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим
, ,
, .
Контроль: .
Следовательно, искомый закон распределения:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Задача 4
. Произведено 5000 патронов.
Вероятность того, что один патрон бракованный 
. Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3
бракованных патрона?
Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом
количестве испытаний (массовые испытания),
в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: 
, где .
Здесь
n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: 
.
Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.
При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .
Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:
Найти математическое ожидание.
Решение. .
Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.
Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:
Решение. Здесь .
Закон распределения квадрата величины X 2 :
|
X2 |
|||
Искомая дисперсия: .
Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.
Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:
|
10м |
|||
Найти её числовые характеристики.
Решение: м, м 2 ,
М 2 , м.
Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.
Задача 9.
Случайная величина
X
задана функцией
распределения: 
.
Найти вероятность того, что в результате
испытания величина X примет значение, заключенное в интервале 
.
Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому
.
Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.
Решение. Так как функция распределения,
для 
, то
при ;
при ;
при ;
при ;
Соответствующий график:
Задача 11.
Непрерывная случайная
величина
X
задана дифференциальной функцией
распределения: 
.
Найти вероятность попадания X в интервал
Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.
Воспользуемся
формулой: 
.
Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
– функция Лапласа.
На этой странице мы собрали краткую теорию и примеры решения учебных задач, в которых дискретная случайная величина уже задана своим рядом распределения (табличный вид) и требуется ее исследовать: найти числовые характеристики, построить графики и т.д. Примеры на известные виды распределения вы можете найти по ссылкам:
Краткая теория о ДСВ
Дискретная случайная величина задается своим рядом распределения: перечнем значений $x_i$, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей $p_i=P(X=x_i)$. Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай $i=\overline{1,n}$. Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end{array} $$
При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице
$$\sum_{i=1}^{n} p_i=1$$
Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения ). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами $(x_i,p_i)$ и соединяются по порядку ломаной линией. Подробные примеры вы найдете .
Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание:
$$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$
Дисперсия:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$$
Среднее квадратическое отклонение:
$$\sigma (X) = \sqrt{D(X)}$$
Коэффициент вариации:
$$V(X) = \frac{\sigma(X)}{M(X)}$$.
Мода: значение $Mo=x_k$ с наибольшей вероятностью $p_k=\max_i{p_i}$.
Вы можете использовать онлайн-калькуляторы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ .
Функция распределения ДСВ
По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины $F(x)=P(X\lt x)$. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение меньшее некоторого числа $x$. Примеры построения с подробными вычислениями и графиками вы найдете в примерах ниже.
Примеры решенных задач
Задача 1.
Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Построить многоугольник распределения и функцию распределения $F(x)$. Вычислить: $M[X], D[X], \sigma[X]$, а также коэффициент вариации, асимметрии, эксцесса, моду и медиану.
Задача 2.
Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Требуется:
а) определить математическое ожидание М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратическое отклонение (х) случайной величины Х;
б) построить график этого распределения.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
Задача 3.
Для случайной величины Х с данным рядом распределения
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) найдите $р_1$ и $р_2$ так, чтобы $М(Х)=0,5$
Б) после этого вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Х$ и постройте график ее функции распределения
Задача 4.
Дискретная СВ $X$ может принимать только два значения: $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 \lt x_2$. Известны вероятность $P$ возможного значения, математическое ожидание $M(x)$ и дисперсия $D(x)$. Найти: 1) Закон распределения этой случайной величины; 2) Функцию распределения СВ $X$; 3) Построить график $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$
Задача 5. Случайная величина Х принимает три значения: 2, 4 и 6. Найти вероятности этих значений, если $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.
Задача 6.
Дан ряд распределения дискретной с.в. $Х$. Найти числовые характеристики положения и рассеивания с.в. $Х$. Найти м.о. и дисперсию с.в. $Y=X/2-2$, не записывая ряда распределения с.в. $Y$, проверить результат с помощью производящей функции.
Построить функцию распределения с.в. $Х$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦
Задача 7.
Распределение дискретной случайной величины $Х$ задано следующей таблицей (рядом распределения):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Определить недостающее значение в таблице распределения. Вычислить основные числовые характеристики распределения: $M_x, D_x, \sigma_x$. Найти и построить функцию распределения $F(x)$. Определить вероятность того, что случайная величина $Х$ примет значения:
А) больше чем 6,
Б) меньше чем 12,
В) не больше 9.
Задача 8. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).
Задача 9.
Задан закон распределения дискретной случайной величины $X$ (в первой строке указаны возможные значения $x_i$, во второй строке – вероятности возможных значений $p_i$).
Найти:
А) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$;
Б) составить функцию распределения случайной величины $F(x)$ и построить ее график;
В) вычислить вероятности попадания случайной величины $X$ в интервал $x_2 \lt X \lt x_4$, пользуясь составленной функцией распределения $F(x)$;
Г) составить закон распределения величины $Y=100-2X$;
Д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины $Y$ двумя способами, т.е. пользуясь
свойством математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Задача 10.
Дискретная случайная величина задана таблице. Вычислить ее начальные и центральные моменты до 4 порядка включительно. Найти вероятности событий $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi$.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
Определение 2.3. Случайная величина, обозначаемая X, называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множество – конечное либо счетное множество.
Рассмотрим примеры дискретных случайных величин.
1.
Однократно бросают две монеты. Число выпадений гербов в этом эксперименте – случайная величина Х
. Ее возможные значения 0,1,2, т. е. 
– конечное множество.
2. Регистрируется число вызовов "Скорой помощи" в течение некоторого заданного промежутка времени. Случайная величина Х – число вызовов. Ее возможные значения 0, 1, 2, 3, ...,т.е. ={0,1,2,3,...}– счетное множество.
3. В группе 25 студентов. В какой-то день регистрируется число студентов, пришедших на занятия, – случайная величина Х . Ее возможные значения: 0, 1, 2, 3, ...,25 т.е. ={0, 1, 2, 3, ..., 25}.
Хотя все 25 человек в примере 3 пропустить занятия не могут, но случайная величина Х принимать это значение может. Это означает, что значения случайной величины обладают различной вероятностью.
Рассмотрим математическую модель дискретной случайной величины.
Пусть проводится случайный эксперимент, которому соответствует конечное или счетное пространство элементарных событий . Рассмотрим отображение этого пространства на множество действительных чисел, т. е. каждому элементарному событию поставим в соответствие некоторое действительное число , . Множество чисел при этом может быть конечным или счетным, т. е. 
или
Система подмножеств, в которую входит любое подмножество , в том числе одноточечное, образует -алгебру числового множества ( – конечно или счетно).
Поскольку любому элементарному событию поставлены в соответствие определенные вероятности р i (в случае конечного все ), причем , то и каждому значению случайной величины можем поставить в соответствие определенную вероятность р i , такую, что .
Пусть х
– произвольное действительное число. Обозначим Р Х (х)
вероятность того, что случайная величина Х
приняла значение, равное х
, т.е. Р Х (х)=Р(Х=х)
. Тогда функция Р Х (х)
может принимать положительные значения лишь при тех значениях х
, которые принадлежат конечному либо счетному множеству 
, а при всех остальных значениях вероятность этого значения Р Х (х)=0.
Итак, мы определили множество значений , -алгебру как систему любых подмножеств и каждому событию {X = х } сопоставили вероятность дпя любых , т.е. построили вероятностное пространство .
Например, пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в двукратном подбрасывании симметричной монеты, состоит из четырех элементарных событий: , где
При двукратном подбрасывании монеты выпали две решетки ; при двукратном подбрасывании монеты выпали два герба ;
При первом подбрасывании монеты выпала решетка, а при втором – герб ;
При первом подбрасывании монеты выпал герб, а при втором – решетка .
Пусть случайная величина Х
– число выпадений решетки. Она определена на и множество ее значений 
. Все возможные подмножества , в том числе и одноточечные, образуют - алгебру, т.е. ={Ø, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}.
Вероятность события {Х=х i }, і = 1,2,3 , определим как вероятность появления события, являющегося его прообразом:
Таким образом, на элементарных событиях {X = х i
} задали числовую функцию Р Х
, так, что 
.
Определение 2.4. Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел (х i , р i), где х i – возможные значения случайной величины, а р i – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .
Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующиеим вероятности:
| … | … | ||||
| … | … |
Такая таблица называется рядом распределения. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, его изображают графически: на оси Ох наносят точки х i и проводят из них перпендикуляры длиной р i . Полученные точки соединяют и получают многоугольник, который является однойиз форм закона распределения (рис. 2.1).
Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать ее значения и соответствующиеим вероятности.
Пример 2.2. Денежный приемник автомата срабатывает при каждом опускании монеты с вероятностью р . Как только он сработал, монеты не опускают. Пусть Х – число монет, которые надо опустить до срабатывания денежного приемника автомата. Построить ряд распределения дискретной случайной величины Х .
Решение.
Возможные значения случайной величины Х
: х 1 = 1, х 2 = 2,..., х к =к, …
Найдем вероятности этих значений: р 1
– вероятность того, что денежный приемник сработает при первом опускании, и р 1 =р; р 2 –
вероятность того, что будут произведены две попытки. Для этого нужно, чтобы: 1) при первой попытке денежный приемник не сработал; 2) при второй попытке – сработал. Вероятность этого события равна (1–р)р
. Аналогично 
и так далее, 
. Ряд распределения Х
примет вид
| 1 | 2 | 3 | … | к | … | |
| р | qp | q 2 p | q r -1 p |
Заметим, что вероятности р к образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: 1–p=q , q<1, поэтому такое распределение вероятностей называется геометрическим .
ІІредположим далее, что построена математическая модель 
эксперимента, описываемого дискретной случайной величиной Х
, и рассмотрим вычисление вероятностей наступления произвольных событий .
Пусть произвольное событие содержит конечное либо счетное множество значений х i : A= {х 1 , х 2 ,..., х i , ... } .Событие А можно представить в виде объединения несовместных событий вида : . Тогда, применяя аксиому Колмогорова 3, получаем
так как вероятности наступления событий мы определили равными вероятностям появления событий, являющихся их прообразами. Это значит, что и вероятность любого события 
, , можно вычислить по формуле , так как это событие представимо в виде, объединения событий , где .
Тогда и функция распределения F(х) = Р(– <Х<х) находится по формуле . Отсюда следует, что функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками, т. е. является ступенчатой функцией (рис. 2.2):
Если множество конечно, то число слагаемых в формуле конечно, если же счётно, то и число слагаемых счетно.
Пример 2.3. Техническое устройство состоит из двух элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность выходаиз строя первого элемента за время Т равна 0,2, а вероятность выхода второго элемента – 0,1. Случайная величина Х – число отказавших элементов за время Т. Найти функцию распределения случайнойвеличины и построить ее график.
Решение.
Пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в исследовании надежности двух элементов технического устройства, определяется четырьмя элементарными событиями , , , : – оба элемента исправны; – первый элемент исправен, второй неисправен; – первый элемент неисправен, второй исправен; – оба элемента неисправны. Каждоеиз элементарных событий можно выразить через элементарные события пространств 
и 
, где – первый элемент исправен; – первый элемент вышел из строя; – второй элемент исправен; – второй элемент вышел из строя. Тогда , и таккак элементы технического устройства работают независимо друг от друга, то
8. Чему равна вероятность того, что значения дискретной случайной величины принадлежат промежутку ?
