Корреляционный анализ по методу Спирмена (ранги Спирмена). Корреляции в дипломных работах по психологии
Показатель показывает, как отличается полученная при наблюдении сумма квадратов разностей между рангами от случая отсутствия связи.
Назначение сервиса . С помощью данного онлайн-калькулятора производится:
- расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена;
- вычисление доверительного интервала для коэффициента и оценка его значимости;
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена относится к показателям оценки тесноты связи. Качественную характеристику тесноты связи коэффициента ранговой корреляции, как и других коэффициентов корреляции, можно оценить по шкале Чеддока .
Расчет коэффициента состоит из следующих этапов:
Свойства коэффициента ранговой корреляции Спирмена
Область применения . Коэффициент корреляции рангов используется для оценки качества связи между двумя совокупностями. Кроме этого, его статистическая значимость применяется при анализе данных на гетероскедастичность .
Пример . По выборке данных наблюдаемых переменных X и Y:
- составить ранговую таблицу;
- найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить его значимость на уровне 2a
- оценить характер зависимости
| X | Y | ранг X, d x | ранг Y, d y |
| 28 | 21 | 1 | 1 |
| 30 | 25 | 2 | 2 |
| 36 | 29 | 4 | 3 |
| 40 | 31 | 5 | 4 |
| 30 | 32 | 3 | 5 |
| 46 | 34 | 6 | 6 |
| 56 | 35 | 8 | 7 |
| 54 | 38 | 7 | 8 |
| 60 | 39 | 10 | 9 |
| 56 | 41 | 9 | 10 |
| 60 | 42 | 11 | 11 |
| 68 | 44 | 12 | 12 |
| 70 | 46 | 13 | 13 |
| 76 | 50 | 14 | 14 |
Матрица рангов.
| ранг X, d x | ранг Y, d y | (d x - d y) 2 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 4 | 3 | 1 |
| 5 | 4 | 1 |
| 3 | 5 | 4 |
| 6 | 6 | 0 |
| 8 | 7 | 1 |
| 7 | 8 | 1 |
| 10 | 9 | 1 |
| 9 | 10 | 1 |
| 11 | 11 | 0 |
| 12 | 12 | 0 |
| 13 | 13 | 0 |
| 14 | 14 | 0 |
| 105 | 105 | 10 |
Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:
Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно.
По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
Связь между признаком Y и фактором X сильная и прямая
Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена
Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе H i . p ≠ 0, надо вычислить критическую точку:
где n - объем выборки; ρ - выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2.
Если |p| < Т kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| > T kp - нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.
По таблице Стьюдента находим t(α/2, k) = (0.1/2;12) = 1.782
Поскольку T kp < ρ , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам значимая.
При наличии двух рядов значений, подвергающихся ранжированию, рационально рассчитывать ранговую корреляцию Спирмена.
Такие ряды могут представляться:
- парой признаков, определяемых в одной и той же группе исследуемых объектов;
- парой индивидуальных соподчиненных признаков, определяемых у 2 исследуемых объектов по одинаковому набору признаков;
- парой групповых соподчиненных признаков;
- индивидуальной и групповой соподчиненностью признаков.
Метод предполагает проведение ранжирования показателей в отдельности для каждого из признаков.
Наименьшее значение имеет наименьший ранг.
Этот метод относится к непараметрическому статистическому методу, предназначенному для установления существования связи изучаемых явлений:
- определение фактической степени параллелизма между двумя рядами количественных данных;
- оценка тесноты выявленной связи, выражаемой количественно.
Корреляционный анализ
Статистический метод, предназначенный для выявления существования зависимости между 2 и более случайными величинами (переменными), а также ее силы, получил название корреляционного анализа.
Получил свое название от correlatio (лат.) – соотношение.
При его использовании возможны варианты развития событий:
- наличие корреляции (положительная либо отрицательная);
- отсутствие корреляции (нулевая).
В случае установления зависимости между переменными речь идет об их коррелировании. Иными словами, можно сказать, что при изменении значения Х, обязательно будет наблюдаться пропорциональное изменение значения У.
В качестве инструментов используются различные меры связи (коэффициенты).
На их выбор оказывает влияние:
- способ измерения случайных чисел;
- характер связи между случайными числами.
Существование корреляционной связи может отображаться графически (графики) и с помощью коэффициента (числовое отображение).
Корреляционная связь характеризуется такими признаками:
- сила связи (при коэффициенте корреляции от ±0,7 до ±1 – сильная; от ±0,3 до ±0,699 – средняя; от 0 до ±0,299 – слабая);
- направление связи (прямая или обратная).
Цели корреляционного анализа
Корреляционный анализ не позволяет установить причинную зависимость между исследуемыми переменными.
Он проводится с целью:
- установления зависимости между переменными;
- получения определенной информации о переменной на основе другой переменной;
- определения тесноты (связи) этой зависимости;
- определение направления установленной связи.
Методы корреляционного анализа
Данный анализ может выполняться с использованием:
- метода квадратов или Пирсона;
- рангового метода или Спирмена.
Метод Пирсона применим для расчетов требующих точного определения силы, существующей между переменными. Изучаемые с его помощью признаки должны выражаться только количественно.
Для применения метода Спирмена или ранговой корреляции нет жестких требований в выражении признаков – оно может быть, как количественным, так и атрибутивным. Благодаря этому методу получается информация не о точном установлении силы связи, а имеющая ориентировочный характер.
В рядах переменных могут содержаться открытые варианты. Например, когда стаж работы выражается такими значениями, как до 1 года, более 5 лет и т.д.
Коэффициент корреляции
Статистическая величина характеризующая характер изменения двух переменных получила название коэффициента корреляции либо парного коэффициента корреляции. В количественном выражении он колеблется в пределах от -1 до +1.
Наиболее распространены коэффициенты:
- Пирсона – применим для переменных принадлежащих к интервально шкале;
- Спирмена – для переменных порядковой шкалы.
Ограничения использования коэффициента корреляции
Получение недостоверных данных при расчете коэффициента корреляции возможно в тех случаях, когда:
- в распоряжении имеется достаточное количество значений переменной (25-100 пар наблюдений);
- между изучаемыми переменными установлено, например, квадратичное соотношение, а не линейное;
- в каждом случае данные содержат больше одного наблюдения;
- наличие аномальных значений (выбросов) переменных;
- исследуемые данные состоят из четко выделяемых подгрупп наблюдений;
- наличие корреляционной связи не позволяет установить какая из переменных может рассматриваться в качестве причины, а какая – в качестве следствия.
Проверка значимости корреляции
Для оценки статистических величин используется понятие их значимости или же достоверности, характеризующей вероятность случайного возникновения величины либо крайних ее значений.
Наиболее распространенным методом определения значимости корреляции является определение критерия Стьюдента.
Его значение сравнивается с табличным, количество степенней свободы принимается как 2. При получении расчетного значения критерия больше табличного, свидетельствует о значимости коэффициента корреляции.
При проведении экономических расчетов достаточным считается доверительный уровень 0,05 (95%) либо 0,01 (99%).
Ранги Спирмена
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена позволяет статистически установить наличие связи между явлениями. Его расчет предполагает установление для каждого признака порядкового номера – ранга. Ранг может быть возрастающим либо убывающим.
Количество признаков, подвергаемых ранжированию, может быть любым. Это достаточно трудоемкий процесс, ограничивающий их количество. Затруднения начинаются при достижении 20 признаков.
Для расчета коэффициента Спирмена пользуются формулой:
в которой:
n – отображает количество ранжируемых признаков;
d – не что иное как разность между рангами по двум переменным;
а ∑(d2) – сумма квадратов разностей рангов.
Применение корреляционного анализа в психологии
Статистическое сопровождение психологических исследований позволяет сделать их более объективными и высоко репрезентативными. Статистическая обработка данных полученных в ходе психологических экспериментов способствует извлечению максимума полезной информации.
Наиболее широкое применение в обработке их результатов получил корреляционный анализ.
Уместным является проведение корреляционного анализа результатов, полученных при проведении исследований:
- тревожности (по тестам R. Temml, M. Dorca, V. Amen);
- семейных взаимоотношений («Анализ семейных взаимоотношений» (АСВ) опросник Э.Г. Эйдемиллера, В.В. Юстицкиса);
- уровня интернальности-экстернальности (опросник Е.Ф. Бажина, Е.А. Голынкиной и А.М. Эткинда);
- уровня эмоционального выгорания у педагогов (опросник В.В. Бойко);
- связи элементов вербального интеллекта учащихся при разно профильном обучении (методика К.М. Гуревича и др.);
- связи уровня эмпатии (методика В.В. Бойко) и удовлетворенностью браком (опросник В.В. Столина, Т.Л. Романовой, Г.П. Бутенко);
- связи между социометрическим статусом подростков (тест Jacob L. Moreno) и особенностями стиля семейного воспитания (опросник Э.Г. Эйдемиллера, В.В. Юстицкиса);
- структуры жизненных целей подростков, воспитанных в полных и неполных семьях (опросник Edward L. Deci, Richard M. Ryan Ryan).
Краткая инструкция к проведению корреляционного анализа по критерию Спирмена
Проведение корреляционного анализа с использованием метода Спирмена выполняется по следующему алгоритму:
- парные сопоставимые признаки располагаются в 2 ряда, один из которых обозначается с помощью Х, а другой У;
- значения ряда Х располагаются в порядке возрастания либо убывания;
- последовательность расположения значений ряда У определяется их соответствием значений ряда Х;
- для каждого значения в ряду Х определить ранг — присвоить порядковый номер от минимального значения к максимальному;
- для каждого из значений в ряду У также определить ранг (от минимального к максимальному);
- вычислить разницу (D) между рангами Х и У, прибегнув к формуле D=Х-У;
- полученные значения разницы возводятся в квадрат;
- выполнить суммирование квадратов разниц рангов;
- выполнить расчеты по формуле:
Пример корреляции Спирмена
Необходимо установить наличие корреляционной связи между рабочим стажем и показателем травматизма при наличии следующих данных:
Наиболее подходящим методом анализа является ранговый метод, т.к. один из признаков представлен в виде открытых вариантов: рабочий стаж до 1 года и рабочий стаж 7 и более лет.
Решение задачи начинается с ранжирования данных, которые сводятся в рабочую таблицу и могут быть выполнены вручную, т.к. их объем не велик:
| Рабочий стаж | Число травм | Порядковые номера | (ранги) | Разность рангов | Квадрат разности рангов |
| d(х-у) | |||||
| до 1 года | 24 | 1 | 5 | -4 | 16 |
| 1-2 | 16 | 2 | 4 | -2 | 4 |
| 3-4 | 12 | 3 | 2,5 | +0,5 | 0,25 |
| 5-6 | 12 | 4 | 2,5 | +1,5 | 2,5 |
| 7 и более | 6 | 5 | 1 | +4 | 16 |
| Σ d2 = 38,5 |
Появление дробных рангов в колонке связано с тем, что в случае появления вариант одинаковых по величине находится среднее арифметическое значение ранга. В данном примере показатель травматизма 12 встречается дважды и ему присваиваются ранги 2 и 3, находим среднее арифметическое этих рангов (2+3)/2= 2,5 и помещаем это значение в рабочую таблицу для 2 показателей.
Выполнив подстановку полученных значений в рабочую формулу и произведя несложные расчёты получаем коэффициент Спирмена равный -0,92
Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о наличии обратной связи между признаками и позволяет утверждать, что небольшой стаж работы сопровождается большим числом травм. Причем, сила связи этих показателей достаточно большая.
Следующим этапом расчётов является определение достоверности полученного коэффициента:
рассчитывается его ошибка и критерий Стьюдента
This calculator below calculates Spearman"s rank correlation coefficient between two random variables. The theoretical part is traditional below the calculator.
add import_export mode_edit delete
Changes of random variables
| arrow_upward arrow_downward | arrow_upward arrow_downward | ||
|---|---|---|---|
| mode_edit |
Changes of random variables
Import data Import error
"One of the following characters is used to separate data fields: tab, semicolon (;) or comma(,)" Sample: -50.5;-50.5
Import Back Cancel
Digits after the decimal point: 4
Calculate
Spearman"s correlation coefficient
Save share extension
The method of Spearman"s rank correlation coefficient calculation is actually pretty simple. It"s like the Pearson correlation coefficient , but designed not for measurements of random variables only but for their ranking values .
We have only to understand what is the rank value and why all this is necessary.
If the elements of a variational series arranged in ascending or descending order, that rank of the element will be his number in ordered series.
For example, we have a variational series {17,26,5,14,21}. Let"s sort it"s elements in a descending order {26,21,17,14,5}. 26 has a rank of 1, 21 - rank of 2 and so on, Variational series of ranking values will look like this {3,1,5,4,2}.
I.e. when calculating Spearman"s coefficient initial variation series are converted into variational series of ranking values and then Pearson"s formula is applied to them.
.
There is one subtlety - the rank of the repeating values is taken as the average of the ranks. That is, for a series {17, 15, 14, 15}ranking series will look like {1, 2.5, 4, 2.5}, as the first element is 15 has a rank of 2, and the second - rank of 3, and.
If you don"t have the repeating values, that is, all the values of ranking series - the numbers between 1 and n, the Pearson"s formula can be simplified to
By the way, this formula is often given as the formula for calculating the Spearman"s coefficient.
What is the essence of the transition from the values themselves to their rank value?
When investigating the correlation of ranking values you can find how well the dependence of the two variables is described by a monotonic function.
The sign of the coefficient indicates the direction of the relationship between variables. If the sign is positive the values of Y has a tendency to increase with the increasement of X. If the sign is negative the values of Y has a tendency to decrease with the increasement of X. If the coefficient is 0 there is no tendency then. If the coefficient equals 1 or -1, the relationship between X and Y has an appearance of monotonic function, i.e. with the increasement of X, Y also increases and vice versa.
That is, unlike the Pearson"s correlation coefficient, which can detect only the linear relationship of one variable from another, Spearman"s correlation coefficient can detect monotonic dependence, where the direct linear relationship cannot be revealed.
Here"s an example.
Поясню на примере. Let"s suppose,we examine the function y=10/x.
We have the following measurements of X and Y
{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}
For this data, Pearson correlation coefficient is equal to -0.4686, i.e. the relationship is weak or absent. And Spearman"s correlation coefficient is strictly equal to -1, as if it"s hints to the researcher that Y has strongly negative monotonic dependence from X.
Назначение рангового коэффициента корреляции
Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями {иерархиями) признаков.
Описание метода
Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:
1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;
2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (например, личностные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.);
3) две групповые иерархии признаков;
4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.
Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков. Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.
Рассмотрим случай 1 (два признака). Здесь ранжируются индивидуальные значения по первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.
Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имеющие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по одному из признаков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги. Для подсчета r s необходимо определить разности (d) между рангами, полученными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем меньше разности между рангами, тем больше будет r s , тем ближе он будет к +1.
Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны и между ними не будет никакого соответствия. Формула составлена так, что вэтом случае r s , окажется близким к 0.
В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот.
Чем больше несовпадение между рангами испытуемых по двумя переменным, тем ближе r s к -1.
Рассмотрим случай 2 (два индивидуальных профиля). Здесь ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг - признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. Например, невозможно проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF ), если они выражены в "сырых" баллах, поскольку по разным факторам диапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до 20 и от 0 до 26. Мы не можем сказать, какой из факторов будет занимать первое место по выраженности, пока не приведем все значения к единой шкале (чаще всего это шкала стенов).
Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны положительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот. Например, если у одного испытуемого фактор Е (доминантность) имеет самый низкий ранг, то иу другого испытуемого он должен иметь низкий ранг, если у одного испытуемого фактор С (эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другой испытуемый должен иметь по этому фактору высокий ранг и т.д.
Рассмотрим случай 3 (два групповых профиля). Здесь ранжируются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.
Рассмотрим случай 4 (индивидуальный и групповой профили). Здесь ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого исреднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые получены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого - он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.
Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N. В первом случае это количество будет совпадать с объемом выборки п. Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. В третьем и четвертом случае N - это также количество сопоставляемых признаков, а не количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах.
Если абсолютная величина r s достигает критического значения или превышает его, корреляция достоверна.
Гипотезы
Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1, второй - к трем остальным случаям.
Первый вариант гипотез
H 0: Корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля.
H 1: Корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.
Второй вариант гипотез
H 0: Корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.
H 1: Корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличается от нуля.
Графическое представление метода ранговой корреляции
Чаще всего корреляционную связь представляют графически в виде облака точек или в виде линий, отражающих общую тенденцию размещения точек в пространстве двух осей: оси признака А и признака Б (см. Рис. 6.2).
Попробуем изобразить ранговую корреляцию в виде двух рядов ранжированных значений, которые попарно соединены линиями (Рис. 6.3). Если ранги по признаку А и по признаку Б совпадают, то между ними оказывается горизонтальная линия, если ранги не совпадают, то линия становится наклонной. Чем больше несовпадение рангов, тем более наклонной становится линия. Слева на Рис. 6.3 отображена максимально высокая положительная корреляция (r в =+1,0) - практически это "лестница". В центре отображена нулевая корреляция - плетенка с неправильными переплетениями. Все ранги здесь перепутаны. Справа отображена максимально высокая отрицательная корреляция (r s =-1,0) -паутина с правильным переплетением линий.
Рис. 6.3. Графическое представление ранговой корреляции:
а) высокая положительная корреляция;
б) нулевая корреляция;
в) высокая отрицательная корреляция
Ограничения коэффициента ранговой корреляции
1. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5 наблюдений. Верхняя граница выборки определяется имеющимися таблицами критических значений (Табл.XVI Приложения 1), а именно N ≤40.
2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена r s при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений. В случае, если это условие не соблюдается, необходимо вносить поправку на одинаковые ранги. Соответствующая формула дана в примере 4.
Пример 1 - корреляция между двумя признаками
Висследовании, моделирующем деятельность авиадиспетчера (Одерышев Б.С., Шамова Е.П., Сидоренко Е.В., Ларченко Н.Н., 1978), группа испытуемых, студентов физического факультета ЛГУ проходила подготовку перед началом работы на тренажере. Испытуемые должны были решать задачи по выбору оптимального типа взлетно-посадочной полосы для заданного типа самолета. Связано ли количество ошибок, допущенных испытуемыми в тренировочной сессии, с показателями вербального и невербального интеллекта, измеренными по методике Д. Векслера?
Таблица 6.1
Показатели количества ошибок в тренировочной сессии и показатели уровня вербального и невербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Количество ошибок |
Показатель вербального интеллекта |
Показатель невербального интеллекта |
|
Сначала попробуем ответить на вопрос, связаны ли между собой показатели количества ошибок и вербального интеллекта.
Сформулируем гипотезы.
H 0: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта не отличается от нуля.
H 1 : Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта статистически значимо отличается от нуля.
Далее нам необходимо проранжировать оба показателя, Приписывая меньшему значению меньший ранг, затем подсчитать разности между рангами, которые получил каждый испытуемый по двум переменным (признакам), и возвести эти разности в квадрат. Произведем все необходимые расчеты в таблице.
В Табл. 6.2 в первой колонке слева представлены значения по показателю количества ошибок; в следующей колонке - их ранги. В третьей колонке слева представлены значения по показателю вербального интеллекта; в следующем столбце - их ранги. В пятом слева представлены разности d между рангом по переменной А (количество ошибок) и переменной Б (вербальный интеллект). В последнем столбце представлены квадраты разностей - d 2 .
Таблица 6.2
Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена r s при сопоставлении показателей количества ошибок и вербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Переменная А количество ошибок |
Переменная Б вербальный интеллект. |
d (ранг А - |
J 2 |
|||||||
|
Индивидуальные значения |
Индивидуальные значения | ||||||||||
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
где d - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;
N - количество ранжируемых значений, в. данном случае количество испытуемых.
Рассчитаем эмпирическое значение r s:
Полученное эмпирическое значение г s близко к 0. И все же определим критические значения r s при N=10 по Табл. XVI Приложения 1:
Ответ: H 0 принимается. Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта не отличается от нуля.
Теперь попробуем ответить на вопрос, связаны ли между собой показатели количества ошибок и невербального интеллекта.
Сформулируем гипотезы.
H 0: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интеллекта не отличается от 0.
H 1: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интеллекта статистически значимо отличается от 0.
Результаты ранжирования и сопоставления рангов представлены в Табл. 6.3.
Таблица 6.3
Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена r s при сопоставлении показателей количества ошибок и невербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Переменная А количество ошибок |
Переменная Е невербальный интеллект |
d (ранг А - |
d 2 |
|||
|
Индивидуальные |
Индивидуальные | ||||||
|
значения |
значения | ||||||
Мы помним, что для определения значимости r s неважно, является ли он положительным или отрицательным, важна лишь его абсолютная величина. В данном случае:
r s
эмп Ответ:
H 0
принимается. Корреляция между показателем
количества ошибок в тренировочной
сессии и уровнем невербального интеллекта
случайна, r s
не отличается от 0. Вместе
с тем, мы можем обратить внимание на
определенную тенденцию отрицательной
связи
между этими двумя переменными. Возможно,
мы смогли бы ее подтвердить на статистически
значимом уровне, если бы увеличили объем
выборки. Пример 2 - корреляция
между индивидуальными профилями
В исследовании,
посвященном проблемам ценностной
реориента-ции, выявлялись иерархии
терминальных ценностей по методике М.
Рокича у родителей и их взрослых детей
(Сидоренко Е.В., 1996). Ранги терминальных
ценностей, полученные при обследовании
пары мать-дочь (матери - 66 лет, дочери -
42 года) представлены в Табл. 6.4. Попытаемся
определить, как эти ценностные иерархии
коррелируют друг с другом. Таблица 6.4
Ранги терминальных
ценностей по списку М.Рокича в
индивидуальных иерархиях матери и
дочери Терминальные ценности Ранг ценностей в Ранг ценностей в d
2
иерархии матери иерархии дочери 1 Активная деятельная жизнь 2 Жизненная
мудрость 3 Здоровье 4 Интересная
работа 5 Красота
природы и искусство 7 Материально
обеспеченная жизнь 8 Наличие хороших и
верных друзей 9 Общественное
признание 10 Познание 11 Продуктивная
жнзнь 12 Развитие 13 Развлечения 14 Свобода 15 Счастливая семейная жизнь 16 Счастье
других 17 Творчество 18 Уверенность
в себе Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция
между иерархиями терминальных ценностей
матери и дочери не отличается от нуля. H 1:
Корреляция между иерархиями терминальных
ценностей матери и дочери статистически
значимо отличается от нуля. Поскольку
ранжирование ценностей предполагается
самой процедурой исследования, нам
остается лишь подсчитать разности между
рангами 18 ценностей в двух иерархиях.
В 3-м и 4-м столбцах Табл. 6.4 представлены
разности d
и
квадраты этих разностей d
2
.
Определяем
эмпирическое значение r s
по формуле: где d
-
разности между рангами по каждой из
переменных, в данном случае по каждой
из терминальных ценностей; N
-
количество переменных, образующих
иерархию, в данном случае количество
ценностей. Для данного примера: По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения: Ответ:
H 0
отвергается.
Принимается H 1 .
Корреляция между иерархиями терминальных
ценностей матери и дочери статистически
значима (р<0,01) и является положительной. По данным Табл.
6.4 мы можем определить, что основные
расхождения приходятся на ценности
"Счастливая семейная жизнь",
"Общественное признание" и
"Здоровье", ранги остальных ценностей
достаточно близки. Пример 3 - корреляция
между двумя групповыми иерархиями
Джозеф
Вольпе в книге, написанной совместно с
сыном (Wolpe
J.,
Wolpe
D.,
1981) приводит упорядоченный перечень из
наиболее часто встречающихся у
современного человека "бесполезных",
по его обозначению, страхов, которые
не несут сигнального значения и лишь
мешают полноценно жить и действовать.
В отечественном исследовании, проведенном
М.Э. Раховой (1994) 32 испытуемых должны
были по 10-балльной шкале оценить,
насколько актуальным для них является
тот или иной вид страха из перечня
Вольпе 3 .
Обследованная выборка состояла из
студентов Гидрометеорологического и
Педагогического институтов
Санкт-Петербурга: 15 юношей и 17 девушек
в возрасте от 17 до 28 лет, средний возраст
23 года. Данные, полученные
по 10-балльной шкале, были усреднены по
32 испытуемым, и средние проранжированы.
В Табл. 6.5 представлены ранговые
показатели, полученные Дж. Вольпе и М.
Э. Раховой. Совпадают ли ранговые
последовательности 20 видов страха? Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция
между упорядоченными перечнями видов
страха в американской и отечественных
выборках не отличается от нуля. H 1:
Корреляция между упорядоченными
перечнями видов страха в американской
и отечественной выборках статистически
значимо отличается от нуля. Все расчеты,
связанные с вычислением и возведением
в квадрат разностей между рангами разных
видов страха в двух выборках, представлены
в Табл. 6.5. Таблица 6.5
Расчет
d
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена при сопоставлении упорядоченных
перечней видов страха в американской
и отечественной выборках Виды страха Ранг в американской выборке Ранг в российской Страх
публичного выступления Страх
полета Страх
совершить ошибку Страх
неудачи Страх
неодобрения Страх
отвержения Страх
злых люден Страх
одиночества Страх
крови Страх
открытых ран Страх
дантиста Страх
уколов Страх
прохождения тестов Страх
полиции ^милиции) Страх
высоты Страх
собак Страх
пауков Страх
искалеченных людей Страх
больниц Страх
темноты Определяем
эмпирическое значение
r s: По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения г s
при N=20: Ответ:
H 0
принимается. Корреляция между
упорядоченными перечнями видов страха
в американской и отечественной выборках
не достигает уровня статистической
значимости, т. е. значимо не отличается
от нуля. Пример
4 - корреляция между индивидуальным и
среднегрупповым профилями
Выборке
петербуржцев в возрасте от 20
до
78
лет
(31
мужчина, 46 женщин),
уравновешенной по возрасту таким
образом, что лица в возрасте старше 55
лет составляли в
ней
50% 4 ,
предлагалось ответить на вопрос: "Какой
уровень развития каждого из перечисленных
ниже качеств необходим для депутата
Городского собрания Санкт-Петербурга?"
(Сидоренко Е.В., Дерманова И.Б., Анисимова
О.М., Витенберг Е.В., Шульга А.П., 1994).
Оценка
производилась по 10-балльной шкале.
Параллельно с этим обследовалась выборка
из депутатов и кандидатов в депутаты
в Городское собрание Санкт-Петербурга
(n=14).
Индивидуальная диагностика политических
деятелей и претендентов производилась
с помощью Оксфордской системы
экспресс-видеодиагностики по тому же
набору личностных качеств, который
предъявлялся выборке избирателей. В Табл.
6.6 представлены средние значения,
полученные для каждого из качеств в
выборке
избирателей ("эталонный ряд") и
индивидуальные значения одного из
депутатов Городского собрания. Попытаемся
определить, насколько индивидуальный
профиль депутата К-ва коррелирует с
эталонным профилем. Таблица 6.6
Усредненные
эталонные оценки избирателей (п=77) и
индивидуальные показатели депутата
К-ва по 18 личностным качествам
экспресс-видеодиагностики Наименование качества Усредненные эталонные
оценки избирателей Индивидуальные показатели депутата
К-ва 1. Общий уровень культуры 2. Обучаемость 4. Способность к творчеству нового 5.. Самокритичность 6. Ответственность 7. Самостоятельность 8. Энергия, активность 9. Целеустремленность 10. Выдержка, самообладание И. Стойкость 12. Личностная зрелость 13. Порядочность 14. Гуманизм 15. Умение общаться с людьми 16. Терпимость к чужому мнению 17. Гибкость поведения 18. Способность производить благоприятное
впечатление Таблица 6.7
Расчет
d
2
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена между эталонным и индивидуальным
профилями личностных качеств депутата Наименование качества ранг качества в эталонном профиле Ряд 2: ранг качества в индивидуальном
профиле d
2
1 Ответственность 2 Порядочность 3 Умение общаться с людьми 4 Выдержка, самообладание 5 Общий уровень культуры 6 Энергия, активность 8 Самокритичность 9 Самостоятельность 10 Личностная зрелость И Целеустремленность 12 Обучаемость 13 Гуманизм 14 Терпимость к чужому мнению 15 Стойкость 16 Гибкость поведения 17 Способность производить благоприятное
впечатление 18 Способность к творчеству нового Как
видно из Табл. 6.6, оценки избирателей и
индивидуальные показатели депутата
варьируют в разных диапазонах.
Действительно оценки избирателей были
получены по 10-балльной шкале, а
индивидуальные показатели по
экспресс-видеодиагностике измеряются
по 20-ти балльной шкале. Ранжирование
позволяет нам перевести обе шкалы
измерения в единую шкалу, где единицей
измерения будет 1 ранг, а максимальное
значение составит 18 рангов. Ранжирование, как
мы помним, необходимо произвести отдельно
по каждому ряду значений. В данном случае
целесообразно начислять большему
значению меньший ранг, чтобы сразу можно
было увидеть, на каком месте по значимости
(для избирателей) или по выраженности
(у депутата) находится то или иное
качество. Результаты
ранжирования представлены в Табл. 6.7.
Качества перечислены в последовательности,
отражающей эталонный профиль. Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
построенным по оценкам избирателей, не
отличается от нуля. H 1:
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
построенным по оценкам избирателей,
статистически значимо отличается
от нуля. Поскольку в обоих сопоставляемых
ранговых рядах присутствуют группы одинаковых
рангов, перед подсчетом коэффициента
ранговой корреляции
необходимо внести поправки на одинаковые
ранги Т а
и Т
b
: где а
-
объем
каждой группы одинаковых рангов в
ранговом ряду А,
b
-
объем
каждой группы одинаковых рангов в
ранговом ряду В. В
данном случае, в ряду А (эталонный
профиль) присутствует одна группа
одинаковых рангов - качества "обучаемость"
и "гуманизм" имеют один и тот же
ранг 12,5; следовательно, а
=2. T а =(2 3 -2)/12=0,50. В ряду
В (индивидуальный профиль) присутствует
две группы одинаковых рангов, при этом
b
1
=2
и
b
2
=2.
T a =[(2 3 -2)+(2 3 -2)]/12=1,00 Для
подсчета эмпирического значения r s
используем формулу В данном случае: Заметим,
что если бы поправка на одинаковые ранги
нами не вносилась, то величина r s
была бы лишь на (на 0,0002) выше: При
больших количествах одинаковых рангов
изменения г 5
могут оказаться гораздо более
существенными. Наличие одинаковых
рангов означает меньшую степень
дифференцированное™ упорядоченных
переменных и, следовательно, меньшую
возможность оценить степень связи между
ними (Суходольский Г.В., 1972, с.76). По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения г, при N=18: Ответ:
Hq
отвергается.
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
отвечающим требованиям избирателей,
статистически значима (р<0,05) и является
положительной. Из
Табл. 6.7 видно, что депутат К-в имеет
более низкий ранг по шкалам Умения
общаться с людьми и более высокие ранги
по шкалам Целеустремленности и Стойкости,
чем это предписывается избирательским
эталоном. Этими расхождениями, главным
образом, и объясняется некоторое снижение
полученного r s . Сформулируем
общий алгоритм подсчета r s . В случаях, если измерения исследуемых признаков проводятся в шкале порядка, или же форма взаимосвязи отличается от линейной, исследование взаимосвязи между двумя случайными величинами осуществляется с помощь ранговых коэффициентов корреляции. Рассмотрим коэффициент ранговой корреляции Спирмена. При его вычислении необходимо ранжировать (упорядочить) варианты выборки. Ранжированием называется группировка экспериментальных данных в определенном порядке, либо по возрастанию, либо по убыванию. Проведение операции ранжирования осуществляется по следующему алгоритму: 1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений. Наименьшему значению начисляется ранг равный 1. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг под номером 7, за исключением случаев, которые предусмотрены вторым правилом. 2. Если несколько значений равны, то им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны. В качестве примера рассмотрим упорядоченную по возрастанию выборку, состоящую из 7 элементов: 22, 23, 25, 25, 25, 28, 30. Значения 22 и 23 встречаются по одному разу, поэтому их ранги соответственно равны R22=1, а R23=2. Значение 25 встречается 3 раза. Если бы эти значения не повторялись, то их ранги были бы равными 3, 4, 5. Поэтому их ранг R25 равен среднему арифметическому 3, 4 и 5: . Значения 28 и 30 не повторяются, поэтому их ранги соответственно равны R28=6, а R30=7. Окончательно имеем следующее соответствие: 3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле: где n - общее количество ранжируемых значений. Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. В этом случае необходимо найти и исправить ошибку. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена является методом, позволяющим определить силу и направленность взаимосвязи между двумя признаками или двумя иерархиями признаков. Применение коэффициента ранговой корреляции имеет ряд ограничений: Для проведения корреляционного анализа исследователь должен располагать двумя выборками, которые могут быть ранжированы, например: Расчет начинаем с ранжирования изучаемых показателей отдельно по каждому из признаков. Проведем анализ случая с двумя признаками, измеренными в одной и той же группе испытуемых. Сначала ранжируют индивидуальные значения по первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку. Если меньшим рангам одного показателя соответствуют меньшие ранги другого показателя, а большим рангам одного показателя соответствуют большие ранги другого показателя, то два признака связаны положительно. Если же большим рангам одного показателя соответствуют меньшие ранги другого показателя, то два признака связаны отрицательно. Для нахождения rs, определяем разности между рангами (d) по каждому испытуемому. Чем меньше разности между рангами, тем ближе коэффициент ранговой корреляции rs будет к «+1». Если взаимосвязь отсутствует, то между ними не будет никакого соответствия, следовательно rs окажется близким к нулю. Чем больше разности между рангами испытуемых по двум переменным, тем ближе к «-1» будет значение коэффициента rs. Таким образом, коэффициент ранговой корреляции Спирмена является мерой любой монотонной зависимости между двумя исследуемыми признаками. Рассмотрим случай с двумя индивидуальными иерархиями признаков, выявленными у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков. В данной ситуации ранжируют индивидуальные значения, полученные каждым из двух испытуемым по определенной совокупности признаков. Признаку с самым низким значением необходимо присвоить первый ранг; признаку с более высоким значением - второй ранг и т.д. Следует обратить особое внимание на то, чтобы все признаки были измерены в одних и тех же единицах. Например, невозможно ранжировать показатели, если они выражены в различных по «цене» баллах, поскольку невозможно определить, какой из факторов будет занимать первое место по выраженности, пока все значения не будут приведены к единой шкале. Если признаки, имеющие низкие ранги у одного из испытуемых так же имеют низкие ранги у другого, и наоборот, то индивидуальные иерархии связаны положительно. В случае с двумя групповыми иерархиями признаков, ранжируют средне-групповые значения, полученные в двух группах испытуемых по одинаковому для исследуемых групп, набору признаков. Далее следует придерживаемся алгоритма, приведенного в предыдущих случаях. Проведем анализ случая с индивидуальной и групповой иерархией признаков. Начинают с того, что ранжируют отдельно индивидуальные значения испытуемого и средне-групповые значения по тому же набору признаков, которые получены, при исключении того испытуемого, который не участвует в средне-групповой иерархии, так как с ней будет сопоставляться его индивидуальная иерархия. Ранговая корреляция позволяет оценить степень согласованности индивидуальной и групповой иерархии признаков. Рассмотрим, как определяется значимость коэффициента корреляции в перечисленных выше случаях. В случае с двумя признаками она будет определяться объемом выборки. В случае с двумя индивидуальными иерархиями признаков значимость зависит от количества признаков, входящих в иерархию. В двух последних случаях значимость обуславливается числом изучаемых признаков, а не численностью групп. Таким образом, значимость rs во всех случаях определяется числом ранжированных значений n. При проверке статистической значимости rs пользуются таблицами критических значений коэффициента ранговой корреляции, составленных для различных количеств ранжируемых значений и разных уровней значимости. Если абсолютная величина rs, достигает критического значения или превышает его, то корреляция достоверна. При рассмотрении первого варианта (случай с двумя признаками, измеренными в одной и той же группе испытуемых) возможны следующие гипотезы. Н0: Корреляция между переменными x и y не отличается от нуля. Н1: Корреляция между переменными x и y достоверно отличается от нуля. Если мы работаем с любым из трех оставшихся случаев, то необходимо выдвинуть другую пару гипотез: Н0: Корреляция между иерархиями x и y не отличается от нуля. Н1: Корреляция между иерархиями x и y достоверно отличается от нуля. Последовательность действий при вычислении коэффициента ранговой корреляции Спирмена rs такова. где tx - объем каждой группы одинаковых рангов в выборке x; ty - объем каждой группы одинаковых рангов в выборке y. Вычислить коэффициент ранговой корреляции в зависимости от наличия или отсутствия одинаковых рангов. При отсутствии одинаковых рангов коэффициент ранговой корреляции rs рассчитать по формуле: При наличии одинаковых рангов коэффициент ранговой корреляции rs рассчитать по формуле: где?d2 - сумма квадратов разностей между рангами; Tx и Ty - поправки на одинаковые ранги; n - количество испытуемых или признаков, участвовавших в ранжировании. Определить по таблице 3 Приложения критические значения rs, для данного количества испытуемых n. Достоверное отличие от нуля коэффициента корреляции будет наблюдаться при условии, если rs не меньше критического значения.
