Чему равно расстояние между параллельными прямыми. Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения
Доказательство.
Возьмем точку , которая лежит на прямой a , тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .
Если font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.
Тогда при
font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">расстояние от точки
до прямой b
вычисляется по формуле
, а при
- по формуле
То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Теорема доказана.
2. Решение задач на нахождение расстояния между параллельными прямыми
Пример №1.
Найдите расстояние между параллельными прямыми и Решение.
Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.
Для прямой font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">к общему уравнению этой прямой:
font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .
Ответ: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Пример №2.
На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.
Решение:
Первый способ решения.
Канонические уравнения прямой на плоскости вида font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">позволяют сразу записать координаты точки М1 , лежащей на этой прямой: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">: .
Второй способ решения.
Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: . Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны - они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .
Ответ: 8
3. Домашнее задание
Задачи для самопроверки
1. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
4.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Все поставленные цели и задачи выполнены полностью. Разработаны два урока из раздела «Взаимное расположение объектов на плоскости» по теме «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми» с помощью метода координат. Материал подобран на доступном для учащихся уровне, что позволит решать задачи по геометрии более простыми и красивыми методами.
5.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1) , Юдина. 7 – 9 классы : учебник для общеобразовательных учреждений.
2) , Позняк. Учебник для 10-11 классов средней школы .
3) , Никольский математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
4) , Позняк геометрия.
6.ПРИЛОЖЕНИЯ
Справочный материал
Общее уравнение прямой:
Ах + Ву + С = 0 ,
где А и В не равны нулю одновременно.
Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой (т. е. вектора, перпендикулярного прямой). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси О Y .
При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом :
Уравнение прямой, проходящей через точку (х 0 , у 0) и не параллельной оси OY , имеет вид:
у – у 0 = m (x – х 0) ,
где m – угловой коэффициент , равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .
При А font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">
где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки (a , 0) и (0, b ), т. е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1, у 1) и (х 2, у 2):
Параметрическое уравнение прямой , проходящей через точку (х 0 , у 0) и параллельной направляющему вектору прямой (a , b ) :
Условие параллельности прямых:
1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и D х+ E у+ F = 0: AE – BD = 0 ,
2) для прямых у = m x + k и у = p x + q : m = p .
Этот видеоурок будет полезен тем, кто хочет самостоятельно изучить тему «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». В ходе урока вы сможете узнать о том, как можно рассчитать расстояние от точки до прямой. Затем учитель даст определение расстояния между параллельными прямыми.
В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми
Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ
Рис. 1. АВ - расстояние между точками
Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние - это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В
Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.
Рис. 2. АН - расстояние между точкой и прямой
Важно заметить, что АН - кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае - это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы
Обозначение расстояния:
Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3
Рис. 3. Параллельные прямые a и b
Зафиксируем две точки на прямой a и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую b . Докажем, что если ,
Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ - общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .
Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что АН = ВМ
Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,
Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной
Закрепим наши знания, решим несколько задач
Пример 1 : Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.
В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС
Рис. 4. Чертёж к примеру 1
Решение:
Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть - по 60 0). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD - не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC
Поскольку расстояние от точки D до прямой АС - это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH - данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 90 0 , так как DH - перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD = (см) (По свойству)
Расстояние от точки А до прямой ВС - это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .
Ответ: 12 см.
Пример 2 : Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.
Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c
Решение:
Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)
Поскольку , то = 5 - 3 = 2 (см).
Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:
Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)
В данном случае .
- Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ().
- Репетитор по математике ().
- № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
- Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
- На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС
- Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной
В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.
Навигация по странице.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.
Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.
Определение.
– это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.
В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.
Определение.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b . Отметим на прямой a некоторую точку М 1 , через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a , и из точки М 1 опустим перпендикуляр М 1 H 1 на плоскость . Длина перпендикуляра M 1 H 1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b .
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.
При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.
Если же в трехмерном пространстве введена Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b , то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.
Пусть - плоскость, проходящая через прямую b , параллельно прямой a . Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , до плоскости . Таким образом, если мы определим координаты некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , и получим нормальное уравнение плоскости в виде , то мы сможем вычислить расстояние от точки до плоскости по формуле (эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.
Теперь подробно.
Задача сводится к получению координат точки М 1 , лежащей на прямой a , и к нахождению нормального уравнения плоскости .
С определением координат точки М 1 сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве . А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.
Если мы определим координаты некоторой точки М 2 , через которую проходит плоскость , а также получим нормальный вектор плоскости в виде , то мы сможем написать общее уравнение плоскости как .
В качестве точки М 2 можно взять любую точку, лежащую на прямой b , так как плоскость проходит через прямую b . Таким образом, координаты точки М 2 можно считать найденными.
Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.
Плоскость проходит через прямую b и параллельна прямой a . Следовательно, нормальный вектор плоскости перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его ), и направляющему вектору прямой b (обозначим его ). Тогда в качестве вектора можно взять и , то есть, . Определив координаты и направляющих векторов прямых a и b и вычислив , мы найдем координаты нормального вектора плоскости .
Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .
Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле .
Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:
Разберем решение примера.
Пример.
В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Прямую a определяют
Расстояние
от точки до прямой
Расстояние между параллельными прямыми
Геометрия, 7 класс
К учебнику Л.С.Атанасяна
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
АН ⏊ а
М є а, М отлична от Н
Перпендикуляр , проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной , прове-денной из той же точки к этой прямой.
АМ – наклонная, проведенная из точки А к прямой а
АН АМ
АN - наклонная
АН АN
АН АK
АK - наклонная
Расстояние от точки до прямой
M
Расстояние от точки М до прямой с равно …
N
Расстояние от точки N до прямой с равно …
с
Расстояние от точки K до прямой с равно …
K
Расстояние от точки F до прямой с равно …
F
Расстояние от точки до прямой
АН ⏊ а
АН = 5,2 см
ВК ⏊ а
ВК = 2,8 см
Теорема.
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой
Дано: a ǁ b
А є а, В є а,
Доказать: расстояния от точек А и В до прямой а равны.
АН ⏊ b, BK ⏊ b,
Доказать: АH = BK
Δ АНК = ΔВКА (почему?)
Из равенства треугольников следует АН = ВК
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
Обратная теорема.
Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
АН ⏊ b, BK ⏊ b,
АH = BK
Доказать: АВ ǁ b
Δ АНК = ΔКВА (почему?)
Из равенства треугольников следует … , но это внутренние накрест лежащие углы, образованные … , значит АВ ǁ НК
Чему равно расстояние между прямыми b и с, если расстояние между прямыми а и b равно 4, а между прямыми а и с равно 5 ?
а ǁ b ǁ c
Чему равно расстояние между прямыми b и а, если расстояние между прямыми b и с равно 7, а между прямыми а и с равно 2 ?
Чему равно расстояние между прямыми а и с, если расстояние между прямыми b и с равно 10, а между прямыми b и a равно 6 ?
Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?
а ǁ b
Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.
Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?
Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.
Этот видеоурок будет полезен тем, кто хочет самостоятельно изучить тему «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». В ходе урока вы сможете узнать о том, как можно рассчитать расстояние от точки до прямой. Затем учитель даст определение расстояния между параллельными прямыми.
В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми
Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ
Рис. 1. АВ - расстояние между точками
Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние - это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В
Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.
Рис. 2. АН - расстояние между точкой и прямой
Важно заметить, что АН - кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае - это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы
Обозначение расстояния:
Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3
Рис. 3. Параллельные прямые a и b
Зафиксируем две точки на прямой a и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую b . Докажем, что если ,
Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ - общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .
Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что АН = ВМ
Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,
Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной
Закрепим наши знания, решим несколько задач
Пример 1 : Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.
В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС
Рис. 4. Чертёж к примеру 1
Решение:
Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть - по 60 0). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD - не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC
Поскольку расстояние от точки D до прямой АС - это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH - данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 90 0 , так как DH - перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD = (см) (По свойству)
Расстояние от точки А до прямой ВС - это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .
Ответ: 12 см.
Пример 2 : Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.
Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c
Решение:
Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)
Поскольку , то = 5 - 3 = 2 (см).
Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:
Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)
В данном случае .
- Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ().
- Репетитор по математике ().
- № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
- Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
- На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС
- Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной