Матрица с неизвестными переменными. Решение системы с помощью обратной матрицы
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :
Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .
В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где
,
,.
Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .
Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .
Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:
x=A -1 b .
Пример
Решить систему
матричным
методом.
Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.
Обратная матрица найдена верно.
Найдем
решение системы
Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Проверка:
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений имеет вид:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система
имеет единственное решение только в
том случае, когда
r(A) = n. При этом число
уравнений - не меньше числа неизвестных
(mn);
если m>n, то m-n уравнений являются
следствиями остальных. Если 0 Для
решения произвольной системы линейных
уравнений нужно уметь решать системы,
в которых число уравнений равно числу
неизвестных, - так называемые
системы крамеровского типа
: a 11
x 1
+
a 12
x 2
+...
+ a 1n
x n
=
b 1 , a 21
x 1
+ a 22
x 2
+...
+ a 2n
x n
=
b 2 ,
(5.3) ...
... ... ...
... ... a n1
x 1
+ a n1
x 2
+... + a nn
x n
= b n . Системы (5.3) решаются
одним из следующих способов: 1) методом
Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным
методом. Пример
2.12
. Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она
совместна: 5x 1
- x 2
+ 2x 3
+ x 4
= 7, 2x 1
+ x 2
+ 4x 3 -
2x 4
= 1, x 1
- 3x 2
- 6x 3
+ 5x 4
= 0. Решение.
Выписываем
расширенную матрицу системы:
Вычислим
ранг основной матрицы системы. Очевидно,
что, например, минор второго порядка в
левом верхнем углу
=
7
0; содержащие его миноры третьего порядка
равны нулю: Следовательно,
ранг основной матрицы системы равен 2,
т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной
матрицы A
рассмотрим окаймляющий минор значит,
ранг расширенной матрицы r(A)
= 3. Поскольку r(A)
r(A),
то система несовместна. Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. Матричный метод позволяет находить решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)
любой сложности. Весь процесс решения СЛАУ сводится к двум основным действиям: Определение обратной матрицы на основании главной матрицы: Умножение полученной обратной матрицы на вектор-столбец решений. Допустим, дано СЛАУ следующего вида: \[\left\{\begin{matrix} 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end{matrix}\right.\] Начнем решение данного уравнения с выписывания матрицы системы: Матрица правой части: Определим обратную матрицу. Найти матрицу 2-го порядка можно следующим образом: 1 - сама матрица должна быть
невырожденной; 2 - ее элементы, которые находятся на главной диагонали, меняем местами, а у элементов
побочной диагонали выполняем смену знака на противоположный, после чего выполняем деление полученных
элементов на определитель матрицы. Получим: \[\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1
\\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix} \] 2 матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. В итоге имеем следующий ответ решения
СЛАУ: Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн
решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы
можете задать их в нашей групе Вконтакте. Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица - таблица элементов. О такой таблице, где m
строк и n
столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m
на n
. Общий вид матрицы: Для решения матриц
необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы: Основные виды матриц: Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21
, а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1
, то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы. Почти все методы решения матрицы
заключаются в нахождении ее определителя n
-го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы. Для вычисления определителя матрицы А
2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали: Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка. Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц
, можно изобразить таким образом: Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме: При решении матриц правилом Саррюса
, справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-": Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой. Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.
При решении матриц
методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали. Теорема Лапласа при решении матриц.
Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ
- это определитель n
-го порядка. Выбираем в нем любые k
строк (либо столбцов), при условии k
≤
n - 1
. В таком случае сумма произведений всех миноров k
-го порядка, содержащихся в выбранных k
строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю. Последовательность действий для решения обратной матрицы
: Для решения систем матриц
наиболее часто используют метод Гаусса. Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы. Метод Гаусса
является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом. Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных. Инструкция
. Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B .
.
Где можно решить систему уравнений матричным методом онлайн?
Методы решения матриц.
Нахождение определителей 2-го порядка.
Методы нахождения определителей 3го порядка.
Решение обратной матрицы.
Решение систем матриц.
Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word
(см. пример оформления).
Алгоритм решения
Пример
. Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.
A 1,1 = (-1) 1+1
1
2
0
-2
∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2
A 1,2 = (-1) 1+2
3
2
1
-2
∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8
A 1,3 = (-1) 1+3
3
1
1
0
∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1
A 2,1 = (-1) 2+1
-2
1
0
-2
∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4
A 2,2 = (-1) 2+2
2
1
1
-2
∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5
A 2,3 = (-1) 2+3
2
-2
1
0
∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2
A 3,1 = (-1) 3+1
-2
1
1
2
∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5
·
3
-2
-1
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
